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TAPL 数学预备知识：集合、关系与函数

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

TAPL 数学预备知识学习画布

这页把我们这次讨论的内容整理成一张可复习的网页：集合、关系、函数、偏函数、全函数、保持性，以及它们如何对应到小步语义、大步语义、类型关系和 Type Safety。

一张总览图

基础对象

集合 Set

集合是一堆对象的容器，例如 N = {0,1,2,...}。后面的关系、函数、谓词，都建立在集合之上。

核心抽象

关系 Relation

关系就是一堆元组。二元关系 R ⊆ S × T 可以理解为从左边对象到右边对象的箭头集合。

特殊关系

函数 Function

函数是“输出唯一”的关系。偏函数允许某些输入没有结果；全函数要求每个输入都有唯一结果。

从关系理解偏函数和全函数

交互图：看每个输入有几条箭头

判断口诀

一般关系：同一个输入可以没有结果、一个结果、多个结果。

偏函数：每个输入最多一个结果。也就是：要么没定义，要么唯一。

全函数：每个输入恰好一个结果。也就是：既不能没有，也不能多个。

R ⊆ S × T

偏函数：若 (s,t₁)∈R 且 (s,t₂)∈R，则 t₁=t₂

全函数：偏函数 + dom(R)=S

几个容易混淆的点

undefined

f(x) ↑ 表示 f 在 x 上无定义。比如 pred(0) 在自然数前驱函数里无定义。

fail

f(x)=fail 是一种明确返回的失败结果。失败是可观察的结果，可以被建模为 T ∪ {fail}。

divergence

发散表示算不完、不会返回。它和 fail 不一样：fail 是返回了失败，divergence 是没有返回。

保持性：把它理解成“不变式”

定义的白话版

如果 s R s′ 且 P(s)，总能推出 P(s′)，那么就说性质 P 被关系 R 保持。

∀s,s′. (s R s′ ∧ P(s)) ⇒ P(s′)

把 R 想成“一步执行”，把 P 想成“好性质”。保持性就是说：执行一步不会把好状态变坏。

数字例子

令 S = Z，x R y 表示 y = x + 1，P(x) 表示 x ≥ 0。

如果 x 非负，那么 x+1 仍然非负，所以 P 被“加一”关系保持。

如果 R 改成 y = x - 1，那么从 0 可以走到 -1，非负性被破坏，所以 P 不被保持。

放回 TAPL：关系、函数、类型安全

记号	它是什么关系	是否像函数	直觉
`t → t′`	小步语义，`R ⊆ Tm × Tm`	通常是偏函数	同一个 term 通常最多只有一个下一步；value 或 stuck term 没有下一步。
`t ⇓ v`	大步语义，`R ⊆ Tm × Val`	通常是偏函数	如果能算出值，值通常唯一；若存在死循环，就不是全函数。
`Γ ⊢ t : T`	类型关系，可看作 `(Γ,t) ↦ T`	简单类型系统里通常是偏函数	类型唯一性说明同一个 term 在同一上下文下最多一个类型；ill-typed term 没有类型。
`typeof(Γ,t)`	实现里的类型检查函数	常建模为全函数到 `Ty ∪ {fail}`	对每个输入都停机并返回：要么类型 T，要么 fail。

Type Safety 的核心句式

1. 起点某个 term 是 well-typed：Γ ⊢ t : T

2. 执行它走了一步：t → t′

3. 保持执行后仍有类型：Γ ⊢ t′ : T

4. 意义类型良好这个性质，被小步求值关系保持。

Preservation 定理：如果 Γ ⊢ t : T 且 t → t′，那么 Γ ⊢ t′ : T。

这正是 2.1.10 的定义在类型系统里的核心应用：well-typed 是 P，小步求值是 R。

快速自测

1. `pred: N ⇀ N`，其中 `pred(0)` 无定义。它是什么？

一般关系，且不是偏函数偏函数，但不是全函数全函数

2. Preservation 在说什么？

每个程序都会停机 well-typed 这个性质被求值关系保持每个 term 都有类型

答案：1 选“偏函数，但不是全函数”；2 选“well-typed 这个性质被求值关系保持”。你已经抓住这章最重要的桥了。

TAPL 数学预备知识：有序集、序列与归纳法

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

TAPL 数学预备知识：有序集、序列与归纳法

Types and Programming Languages · Math Preliminaries

有序集、序列与归纳法学习画布

把这次对话里的定义、翻译和直觉解释整理成一页：从关系与有序集，到序列，再到归纳法。目标是以后看到 TAPL 证明时，能迅速想起每个符号背后的意思。

2.2 有序集：先理解关系的四个性质

二元关系可以先粗略想成“两个元素之间画箭头”。这些性质描述箭头应该满足什么规律。

点击卡片可高亮

自反 Reflexive 自己到自己

每个元素都和自身相关。

对所有 s ∈ S，都有 s R s

对称 Symmetric 双向

如果 s 能到 t，那么 t 也能到 s。

s R t ⇒ t R s

传递 Transitive 可接力

如果 s 到 t，t 到 u，那么 s 也到 u。

s R t ∧ t R u ⇒ s R u

反对称 Antisymmetric 互相小于只能相等

如果 s 到 t 且 t 到 s，那么它们其实是同一个元素。

s R t ∧ t R s ⇒ s = t

概念	需要哪些性质	直觉	典型想法
预序 preorder	自反 + 传递	可以比较“可达性”或“弱顺序”，允许两个不同元素互相可达。	s ≤ t 表示 s 不超过 t；s < t 表示 s ≤ t 且 s ≠ t。
偏序 partial order	预序 + 反对称	真正有“高低层级”的顺序，但不是任意两点都能比较。	集合包含关系 ⊆ 是偏序。
全序 total order	偏序 + 任意两个元素可比较	所有元素都能排成一条线。	自然数上的 ≤ 是全序。
等价关系 equivalence	自反 + 对称 + 传递	把元素分成若干“同类”。	“模 n 同余”是一种等价关系。

Join：最小上界

j 是 s 和 t 的 join，意思是 j 同时在 s、t 上面，而且在所有共同上界里，j 是最低的那个。

s ≤ j ∧ t ≤ j，并且任意共同上界 k 都满足 j ≤ k

Meet：最大下界

m 是 s 和 t 的 meet，意思是 m 同时在 s、t 下面，而且在所有共同下界里，m 是最高的那个。

m ≤ s ∧ m ≤ t，并且任意共同下界 n 都满足 n ≤ m

2.3 序列：逗号既能加元素，也能拼序列

TAPL 这里的约定很轻量：序列就是用逗号隔开的元素列表，空序列写成 bullet 或留空。

例子复盘

设 a 是序列 3, 2, 1；b 是序列 5, 6。

0, a =0321

a, 0 =3210

b, a =56321

需要记住的约定

1..n 表示从 1 到 n 的序列，中间只有两个点。

|a| 表示序列 a 的长度。

permutation 表示两个序列包含完全相同的元素，只是顺序可能不同。

逗号同时表示 cons 和 append；只要不讨论“序列的序列”，通常不会混淆。

2.4 归纳法：证明无限对象的工具箱

归纳法的核心感觉是：只要能从“更小情况已经成立”推出“当前情况成立”，就能覆盖所有情况。

普通归纳一步接一步

证明 P(0)，再证明 P(i) 能推出 P(i+1)，于是所有自然数 n 都满足 P(n)。

P(0) ∧ ∀i. P(i) ⇒ P(i+1) ⟹ ∀n. P(n)

完全归纳依赖所有更小项

证明每个 n 时，可以假设所有 i < n 的 P(i) 都已经成立。

若 ∀n. (∀i<n. P(i)) ⇒ P(n)，则 ∀n. P(n)

字典序归纳：二维版本的“更小情况”

你问“这个公理应该怎么理解”，关键就在于把 (m,n) 想成二维表格里的一个格子。

正在证明 P(2,3)

蓝色格子是字典序上已经可以假设成立的情况；黄色格子是当前要证明的情况。

(0,0)

(0,1)

(0,2)

(0,3)

(0,4)

(0,5)

(1,0)

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(2,0)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(3,0)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

蓝色：m' < m 的所有行，或同一行 n' < n 黄色：当前目标

一句话理解

对一对自然数 (m,n) 做归纳：如果每一格只依赖它之前所有“更小的格子”，那整张无限表格上的所有格子都成立。

(m',n') < (m,n) 当且仅当 m' < m，或 m'=m 且 n'<n

这就是嵌套归纳的抽象写法：外层对 m 归纳，固定 m 后内层再对 n 归纳。

普通归纳像一条线

0, 1, 2, 3... 每次只往前走一步。

完全归纳像看左边全部

证明 n 时，左边所有小于 n 的点都可以作为前提。

字典序归纳像读表格

先读完上一行，再读当前行左边的格子，然后证明当前格子。

闭包：给关系补上缺失性质

闭包的关键词是“最小”。不是随便扩展，而是在满足某性质的前提下，尽量少加东西。

自反闭包

给 R 补上所有 (s,s)，让每个元素都和自己相关。

R' = R ∪ {(s,s) | s ∈ S}

传递闭包

给 R 补上所有通过多步能到达的关系，通常记作 R+。

若 a R b 且 b R c，就需要补出 a R c

自反且传递闭包

同时补自反性和传递性，通常记作 R*。

R* 包含“走 0 步或多步”的可达关系

最小的含义

如果另一个关系也包含 R 且满足目标性质，那么闭包一定包含在那个关系里面。

若 R'' 也满足要求，则 R' ⊆ R''

练习 2.2.6：为什么 R ∪ {(s,s) | s ∈ S} 是 R 的自反闭包？

先证明它包含 R。 因为 R' 是 R 和另一组有序对的并集，所以 R ⊆ R'。

再证明它自反。 对任意 s ∈ S，(s,s) 都被显式加入到 R' 里，所以 R' 是自反的。

最后证明它最小。 任取一个自反关系 R''，并且 R ⊆ R''。因为 R'' 自反，所以所有 (s,s) 都在 R'' 里；又因为 R 中的对也都在 R'' 里，所以 R' 的所有元素都在 R'' 里，即 R' ⊆ R''。

结论。 R' 既包含 R，又自反，并且在所有满足这两个条件的关系里最小，所以它就是 R 的自反闭包。

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TAPL 数学预备知识：集合、关系与函数

一张总览图

集合 Set

关系 Relation

函数 Function

从关系理解偏函数和全函数

交互图：看每个输入有几条箭头

判断口诀

几个容易混淆的点

undefined

fail

divergence

保持性：把它理解成“不变式”

定义的白话版

数字例子

放回 TAPL：关系、函数、类型安全

Type Safety 的核心句式

快速自测

1. pred: N ⇀ N，其中 pred(0) 无定义。它是什么？

2. Preservation 在说什么？

TAPL 数学预备知识：有序集、序列与归纳法

2.2 有序集：先理解关系的四个性质

自反 Reflexive 自己到自己

对称 Symmetric 双向

传递 Transitive 可接力

反对称 Antisymmetric 互相小于只能相等

Join：最小上界

Meet：最大下界

2.3 序列：逗号既能加元素，也能拼序列

例子复盘

需要记住的约定

2.4 归纳法：证明无限对象的工具箱

普通归纳 一步接一步

完全归纳 依赖所有更小项

字典序归纳：二维版本的“更小情况”

正在证明 P(2,3)

一句话理解

普通归纳像一条线

完全归纳像看左边全部

字典序归纳像读表格

闭包：给关系补上缺失性质

自反闭包

传递闭包

自反且传递闭包

最小的含义

1. `pred: N ⇀ N`，其中 `pred(0)` 无定义。它是什么？

普通归纳一步接一步

完全归纳依赖所有更小项